Untuk menyederhanakan ekspresi boolean, prinsip hukum dan kaidah aljabar boolean memainkan peranan yang penting pada rangkaian gerbang logika dari sebuah sistem digital.

A. Pengertian Aljabar Boolean

Aljabar Boolean adalah jenis aljabar matematika yang nilai-nilai variabelnya mengandung nilai kebenaran (truth value), yaitu nilai benar (true) dan nilai salah (false), yang masing-masing biasanya disimbolkan dengan angka 1 dan 0. Aljabar Boolean sering juga disebut sebagai Aljabar Biner atau Aljabar Logika.

Jenis aljabar ini pertama kali diperkenalkan oleh ahli matematika berkebangsaan Inggris bernama George Boole pada tahun 1854. Aljabar Boolean adalah varian dari logika proposisional Aristoteles yang menggunakan simbol 0 dan 1, atau true dan false.

Aljabar boolean secara luas digunakan untuk menganalisis dan menyederhanakan sirkuit digital atau gerbang logika. Teori ini telah menjadi dasar dalam pengembangan sistem digital elektronika modern. Aljabar boolean juga sering digunakan dalam teori himpunan dan statistik.

Bahkan pada setiap bahasa pemrograman modern, Boolean dianggap sebagai salah satu tipe data dasar dimana hanya memiliki 2 nilai, yaitu true dan false.

B. Operasi-operasi Dasar pada Aljabar Boolean

Operasi-operasi penting yang dilakukan dalam Aljabar Boolean antara lain:

konjungsi (∧)
disjungsi (∨)
negasi (¬)

Operasi-operasi tersebut pada teori himpunan dan statistika umumnya digambarkan dengan Diagram Venn, sedangkan pada materi sistem digital dijabarkan melalui tabel kebenaran (truth table)

B.1. Konjungsi

Konjungsi dalam aljabar boolean adalah operasi biner yang menghasilkan nilai true apabila kedua operan bernilai true. Operasi ini dalam gerbang logika adalah operasi gerbang AND.

Sedangkan dalam matematika dasar adalah operasi perkalian. Dalam teori himpunan dan statistika disimbolkan dengan tanda ∧.

x	y	x.y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Dapat dilihat berdasarkan tabel kebenaran di atas, operator konjungsi mengikuti aturan yang sama dengan operasi perkalian pada aljabar matematika dasar.

B.2. Disjungsi

Konjungsi adalah operasi biner yang menghasilkan nilai true (1) apabila salah satu atau kedua operan bernilai true (1). Operasi ini dalam gerbang logika termasuk dalam gerbang OR.

Sedangkan dalam matematika dasar adalah operasi penambahan. Dalam teori himpunan dan statistika disimbolkan dengan notasi ∨.

x	y	x+y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Dapat dilihat berdasarkan tabel kebenaran di atas, operator disjungsi mengikuti aturan yang sama dengan operasi pertambahan pada aljabar matematika dasar, kecuali operasi 1 + 1 = 1.
Hal ini karena operasi disjungsi tidak memiliki nilai carry seperti pada operasi penambahan bilangan integer.
Nilai carry ini akan dibahas lebih lanjut pada materi rangkaian gerbang kombinasional.

B.3. Negasi

Negasi adalah operasi biner yang menghasilkan nilai true apabila operan bernilai false dan begitu juga sebaliknya.

Operasi ini dalam gerbang logika adalah operasi gerbang NOT. Sedangkan dalam teori himpunan dan statistika disimbolkan dengan notasi ¬.

x	x’
0	1
1	0

C. Kaidah-kaidah Hukum Aljabar Boolean

Terdapat 11 kaidah hukum Aljabar Boolean, yakni

Hukum Komutatif
Hukum Asosiatif
Hukum Distributif
Hukum Absorbsi
Hukum Identitas
Hukum Idempoten
Hukum Komplemen
Hukum Dominasi
Hukum Involusi (Negasi Ganda)
Hukum De Morgan
Hukum Inversi

Berikut adalah penjelasan dari masing-masing hukum di atas.

C.1. Hukum Komutatif

Hukum komutatif menyatakan bahwa penukaran urutan variabel tidak memiliki efek pada output dari rangkaian logika.

A . B = B . A
A + B = B + A

C.2. Hukum Asosiatif

Hukum ini menyatakan bahwa operasi logika dapat dilakukan dalam urutan apa pun ketika prioritas variabelnya sama, terlepas dari adanya pengelompokan variabel dalam suatu persamaan.

( A . B ) . C = A . ( B . C )
( A + B ) + C = A + ( B + C)

C.3. Hukum Distributif

Hukum distributif menjelaskan bahwa variabel input pada operasi aljabar boolean dapat disebarkan atau difaktorkan keluar dari ekspresi tanpa mengubah output suatu rangkaian logika.

A . ( B + C) = (A . B) + (A. C)
A + (B . C) = (A + B) . ( A + C)

C.4. Hukum Absorbsi

Hukum ini memungkinkan pengurangan ekspresi logika rumit menjadi lebih sederhana dengan menyerap suku-suku serupa.

A + (A . B) = A
A . (A + B) = A

C.5. Hukum Identitas

Dalam matematika, identitas adalah pernyataan yang benar untuk semua kemungkinan nilai dari variabel.

Dalam Aljabar Boolean, hukum identitas menyatakan bahwa variabel apa pun yang dijumlahkan dengan nilai 0 atau false akan menghasilkan nilai variabel itu sendiri.

Hal ini juga berlaku apabila sebuah variabel dikalikan dengan 1 atau nilai true maka akan mengembalikan nilai variabel itu sendiri.

A + 0 = A
A . 1 = A

C.6. Hukum Idempoten

Hukum idempoten menyatakan bahwa menggabungkan suatu variabel dengan dirinya sendiri baik dengan operasi penambahan (OR) atau perkalian logika (AND) akan menghasilkan nilai yang setara dengan variabel tersebut.

A + A = A
A . A = A

C.7. Hukum Komplemen

Hukum komplemen menyatakan bahwa variabel input yang dijumlahkan dengan invers dari variabel tersebut akan menghasilkan nilai 1 atau true, sedangkan jika dilakukan operasi perkalian menghasilkan nilai 0 atau false.

A + A’ = 1
A . A’ = 0

C.8. Hukum Dominasi

Hukum dominasi menyatakan bahwa dalam suatu konjungsi atau operasi perkalian, suatu nilai kebenaran akan selalu mendominasi.

A . 0 = 0
A . 1 = 1

C.9. Hukum Involusi (Negasi Ganda)

Dalam Aljabar Boolean, hukum involusi menyatakan bahwa negasi ganda pada variabel input menghasilkan output variabel itu sendiri.

(A’)’ = A

C.10. Hukum De Morgan

Dua teorema penting yang banyak digunakan dalam aljabar Boolean adalah hukum I De Morgan dan hukum II De Morgan. Kedua teorema ini digunakan untuk mengubah ekspresi Boolean.
Teorema ini pada dasarnya membantu untuk mengurangi ekspresi boolean yang diberikan dalam bentuk yang disederhanakan.

Hukum I De Morgan

Hukum pertama menyatakan bahwa komplemen perkalian variabel sama dengan jumlah komplemen individu variabelnya.

(A.B)’ = A’ + B’

Hukum II De Morgan

Hukum kedua menyatakan bahwa komplemen dari penjumlahan variabel sama dengan perkalian dari komplemen individualnya terhadap suatu variabel.

(A+B)’ = A’ . B’

C.11. Hukum Inversi

Hukum inversi menjelaskan bahwa komplemen dari nilai kebenaran adalah invers dari nilai tersebut.

0′ = 1
1′ = 0

10.2 K-Map (Karnaught Map)

K-Map adalah Suatu peralatan grafis yang digunakan untuk menyederhanakan persamaan logika atau mengkonversikan sebuah tabel kebenaran menjadi sebuah rangkaian logika.
K-Map Salah satu metode yang paling mudah untuk penyederhanaan Rangkaian Logika.